线性代数是我校针对生物医学工程专业开设的一门重要基础课，它在很多学科比如计算机科学，生物学，通信，航空等领域中都有广泛的应用。生物医学工程专业是一门综合理学、医学和工学的交叉学科，因此线性代数在医工专业的后续课程，如电路，信号与系统，数字信号处理等课程中都有重要应用。

但是线性代数内容抽象，逻辑性强，很多学生并未体会到这门课程的价值和趣味所在，因此如何让学生了解这门课程在后续课程中的重要作用，从而提高学生的学习兴趣，是我们一直关注的一个问题。在多年的教学实践中，我们通过不断探索发现，只有结合实例的教学，才能让抽象的理论变得形象生动，才能激发学生的学习兴趣。因此，本文就实际教学过程中使用的一些案例做一些简单介绍。

1 向量组的线性相关性及药方配制问题

向量组的线性相关性是线性代数中最重要的内容，它是后续求解线性方程组的基础，更是矩阵的秩和方程组解的结构连接的纽带。这一节的内容理论性非常强，比如向量组的线性相关性的概念、最大线性无关组的定义、向量的线性表示等内容，扑面而来的大量定义、定理和术语，让学生感到非常困惑，无法理解，更不能在实际应用中灵活应用。

因此，如果在理论之后适当增加实例的教学，能减轻学生对理论知识的畏惧感，激发学生的学习兴趣，促进学生主动思考，培养学生理论联系实际的能力。因此结合学生专业特点，我们引入了中成药药方配制问题，来帮助学生理解向量组的线性相关性和向量的线性表示等知识。

中成药药方配制问题：某医院药剂科用九种中草药(A-I)，根据适当的比例配制成了7种特效药，各用量成份见表1。

中药1号药2号药3号药4号药5号药6号药7号药A10B12CD5E0F50G5H10I

(1)某药店要购买这7种特效药，但药剂科的第3号药和第6号药已经卖完，请问能否用其它特效药配制出这两种脱销的药品？

(2)现在药剂科想用这7种特效药配制3种新药，表2给出了3种新药的成份比例，请问是否能配制？如何配制？

中药1号新药2号新药3号新药ABCDEFGHI

(1)这类题目同学们首次接触比较困惑，但是仔细分析之后发现，如果把每一种特效药看成一个九维列向量，那么能否用其它特效药配制出第3号药和第6号药的问题，其实就是3号和6号这两个向量能否用其余向量线性表示的问题，所以问题转化为判断7个向量构成的向量组的线性相关性问题。如果向量组线性无关，那么无法配制需要的特效药; 如果向量组线性相关，并且能找到一个最大线性无关组，u3,u6能被这个最大无关组线性表示，则可以配制3号和6号药品。

由于数据量较大，若采用手工初等行变换计算较为麻烦，因此可采用数学软件Matlab进行计算，结果为：向量组线性相关，并且一个最大无关组为u1,u2,u4,u5,u7且u3=u1+2u2，u6=3u2+u4+u5，因此可以配置出这两种脱销的药品。

(2)有了第一问的基础， 第二问就比较简单了。3种新药用v1,v2,v3来表示，能否配制新的特效药的问题就转化为v1,v2,v3能否由7个向量u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7线性表示的问题，若能表示，则可配制；否则，不能配制。

用Matlab计算可得：v1=u1+3u2+2u4，v2=3u1+4u2+2u4+u7，v3则不能被线性表示，所以可以配制1号和2号新药，3号新药则无法配制。

2 方程组求解及电路问题

在线性代数的教学中，方程组的求解贯穿始终，利用行列式计算的克拉默法则，利用初等变换计算的通解，利用基础解析写出的通解，对这些求解方程组的方法，很多同学都很容易掌握，拿到题目都能熟练的计算，但是一遇到实际问题就束手无策，原因就是理论联系实际能力太弱。

线性方程组应用非常广泛，很多实际问题的处理最后都归结为线性方程组的问题，比如在生物医学工程专业的后续课程中，大部分电路的问题都可以转化为方程组的问题来求解。

上图为电路网络图，设各节点的电流如图所示，要求出电路中各支路上的电流。由基尔霍夫第一定律可以列出方程：

对于节点A：i1+i4-i6=0;

对于节点B：i2+i4-i5=0;

对于节点C：i3+i6-i5=0;

对于节点D：i1+i3-i2=0;

于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方程组的求解

解之，得其解为

其中k1,k2,k3都是任意常数。

由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均为正数，所以通解中的3个任意常数应满足以下条件：